Question

20．已知函数f（x）=sin2x+mcos2x的图象关于直线x=$\frac{π}{8}$对称，则f（x）在区间[0，π]的单调递增区间为[0，$\frac{π}{8}$]和[$\frac{5π}{8}$，π] 

Answer 1

分析 依题意，f（0）=f（$\frac{π}{4}$），可求得m=1，利用辅助角公式可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），从而可求得f（x）的单调递增区间．

解答 解：∵函数f（x）=sin2x+mcos2x的图象关于直线x=$\frac{π}{8}$对称，
∴f（0）=f（$\frac{π}{4}$），
∴m=1，
∴f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z得：
kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤$\frac{π}{8}$+kπ，k∈Z．
又x∈[0，π]，
∴f（x）在区间[0，π]的单调递增区间为[0，$\frac{π}{8}$]和[$\frac{5π}{8}$，π]
故答案为：[0，$\frac{π}{8}$]和[$\frac{5π}{8}$，π]．

点评 本题考查正弦函数的单调性，考查y=Asin（ωx+φ）的图象与性质，考查分析与转化的能力，属于中档题．