Question

20．已知函数$f（x）=4cos（\frac{2π}{3}-ωx）sinωx-\sqrt{3}$（ω＞0，x∈R），且f（x）在y轴右侧的第一个最低点的横坐标为$\frac{π}{12}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）若α∈[0，π]，且f（α）=-1，求α．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由二倍角公式和辅助角公式，化简得f（x）=sin（2ωx-$\frac{2π}{3}$），再结合正弦函数最小值的结论，解关于ω的方程，即可得ω的值，由此求得函数解析式，根据正弦函数图象求单调减区间即可；
（Ⅱ）根据α的取值范围和已知条件f（α）=-1得到$2α-\frac{2π}{3}=-\frac{π}{6}$或$\frac{7π}{6}$，由此求得a的值．

解答 解（Ⅰ）$f（x）=4cos（\frac{2π}{3}-ωx）sinωx-\sqrt{3}$=$4（-\frac{1}{2}cosωx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sinωx）sinωx-\sqrt{3}$=$-2sinωxcosωx+2\sqrt{3}{sin^2}ωx-\sqrt{3}=-sin2ωx-\sqrt{3}cos2ωx=2sin（2ωx-\frac{2π}{3}）$．
∵f（x）在y轴右侧的第一个最低点的横坐标为$\frac{π}{12}$，
∴$2ω×\frac{π}{12}-\frac{2π}{3}=-\frac{π}{2}$，得ω=1
所以$f（x）=2sin（2x-\frac{2π}{3}）$，当$2kπ+\frac{π}{2}≤2x-\frac{2π}{3}≤2kπ+\frac{3π}{2}$，
即x∈$[kπ+\frac{7π}{12}，kπ+\frac{13π}{12}]，k∈Z$时单调递减；
（Ⅱ）α∈[0，π]可得$2α-\frac{2π}{3}∈[-\frac{2π}{3}，\frac{4π}{3}]$，因为$f（α）=-\frac{1}{2}$，所以$2α-\frac{2π}{3}=-\frac{π}{6}$或$\frac{7π}{6}$，
所以$α=\frac{π}{4}$或$\frac{11π}{12}$．

点评 本题给出三角函数式，求函数的单调区间，着重考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．