Question

9．（Ⅰ）已知某椭圆的左右焦点分别为F₁（-1，0），F₂（1，0），且经过点P（$\frac{1}{2}$，$\frac{{\sqrt{14}}}{4}$），求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ） 已知某椭圆过点（$\sqrt{2}$，-1），（-1，$\frac{{\sqrt{6}}}{2}$），求该椭圆的标准方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用椭圆的定义，结合焦点坐标求出基本量，即可求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ） 设椭圆方程为mx²+ny²=1，利用待定系数法求该椭圆的标准方程．

解答 解：（Ⅰ）$|P{F_1}|+|P{F_2}|=\sqrt{\frac{9}{4}+\frac{14}{16}}+\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{14}{16}}=\frac{{5\sqrt{2}}}{4}+\frac{{3\sqrt{2}}}{4}=2\sqrt{2}=2a$，
又椭圆焦点为（±1，0），所以b=1，
所以椭圆方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$．…（5分）
（Ⅱ）设椭圆方程为mx²+ny²=1，则有$2m+n=1，m+\frac{3}{2}n=1$，
解得$m=\frac{1}{4}，n=\frac{1}{2}$，所以椭圆方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$．…（10分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的定义、待定系数法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．