Question

8．已知函数f（x）=lnx-$\frac{{a（{x-1}）}}{x+1}$．
（Ⅰ）若函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）若斜率为k的直线与y=lnx的图象交于A、B两点，点M（x₀，y₀）为线段AB的中点，求证：kx₀＞1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导，由题意可知f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a（x+1）-a（x-1）}{（x+1）^{2}}$≥0，解得a≤2；
（Ⅱ）设点A（m，lnm），B（n，lnn），kx₀＞1，即$\frac{m+n}{2}$•$\frac{lnm-lnn}{m-n}$＞1，根据不等式的性质，只需要证：ln$\frac{m}{n}$-$\frac{2（\frac{m}{n}-1）}{\frac{m}{n}+1}$＞0，h（x）=lnx-$\frac{2（x-1）}{x+1}$，由（1）可知，h（x）在[1，+∞）是单调增函数，h（$\frac{m}{n}$）＞h（1）=0，ln$\frac{m}{n}$＞$\frac{2（\frac{m}{n}-1）}{\frac{m}{n}+1}$，即可证明不等式kx₀＞1成立．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=lnx-$\frac{{a（{x-1}）}}{x+1}$（x＞0），f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{a（x+1）-a（x-1）}{（x+1）^{2}}$，
∵函数f（x）在（0，+∞）上为单调增函数，
∴f′（x）≥0，在（0，+∞）恒成立，
解得：a≤2；
（Ⅱ）证明：设点A（m，lnm），B（n，lnn），不妨设m＞n＞0，则$\frac{m}{n}$＞1，
要证kx₀＞1，即$\frac{m+n}{2}$•$\frac{lnm-lnn}{m-n}$＞1，
即证：$\frac{m-n}{m+n}$＜$\frac{lnm-lnn}{2}$，只需证：$\frac{\frac{m}{n}-1}{\frac{m}{n}+1}$＜$\frac{ln\frac{m}{n}}{2}$，
即证ln$\frac{m}{n}$＞$\frac{2（\frac{m}{n}-1）}{\frac{m}{n}+1}$，只需证：ln$\frac{m}{n}$-$\frac{2（\frac{m}{n}-1）}{\frac{m}{n}+1}$＞0，
设h（x）=lnx-$\frac{2（x-1）}{x+1}$，
由（1）可知令a=2知，h（x）在[1，+∞）是单调增函数，
由$\frac{m}{n}$＞1，
∴h（$\frac{m}{n}$）＞h（1）=0，
即ln$\frac{m}{n}$＞$\frac{2（\frac{m}{n}-1）}{\frac{m}{n}+1}$，
即$\frac{m-n}{m+n}$＜$\frac{lnm-lnn}{2}$．
∴不等式kx₀＞1成立．

点评 本题考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性及最值，构造法求函数的导数，分析法证明不等式成立，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．