Question

16．已知函数f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$-ea²（a≠0）．
（1）讨论函数f（x）的极值；
（2）当a＞0，记函数f（x）的最小值为g（a），求g（a）的最大值．

Answer 1

分析 （1）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，即可得出函数f（x）的极值；
（2）由（1）可得g（a）=lna+1-ea²，求导数，确定函数的单调性，即可求g（a）的最大值．

解答 解：（1）∵f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$-ea²，
∴f′（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
a≤0时，f′（x）＞0，函数单调递增，无极值；
a＞0时，0＜x＜a，f′（x）＜0，函数单调递减，x＞a时，f′（x）＞0，函数单调递增，
∴x=a时，函数取得极小值f（a）=lna+1-ea²，无极大值；
（2）由（1）可得g（a）=lna+1-ea²，
∴g′（a）=$\frac{1}{a}$-2ea，
∴0＜a＜$\sqrt{\frac{1}{2e}}$，g′（x）＞0，函数单调递增；a＞$\sqrt{\frac{1}{2e}}$，g′（x）＜0，函数单调递减；
∴a=$\sqrt{\frac{1}{2e}}$，g（a）_max=-$\frac{1}{2}$ln2．

点评 本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性、极值、最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．