Question

18．已知函数$f（x）=（{\sqrt{3}sinωx+cosωx}）cosωx-\frac{1}{2}（{x∈R，ω＞0}）$．若f（x）的最小正周期为4π．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用倍角公式、和差公式可得f（x），利用周期公式、单调性即可得出．
（2）（2a-c）cosB=bcosC，利用正弦定理可得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，再利用和差公式可得：B，可得A∈$（0，\frac{2π}{3}）$，即可得出．

解答 解：（1）f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2ωx）+$\frac{1}{2}$cos（2ωx）
=$sin（2ωx+\frac{π}{6}）$，
∴4π=$\frac{2π}{2ω}$，解得ω=$\frac{1}{4}$．
∴f（x）=sin$（\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}）$．
由$-\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{1}{2}x$+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，
解得4kπ-$\frac{4π}{3}$≤x≤$\frac{2π}{3}$+4kπ，k∈Z．
∴函数f（x）的单调递增区间是[4kπ-$\frac{4π}{3}$，$\frac{2π}{3}$+4kπ]，k∈Z．
（2）（2a-c）cosB=bcosC，∴（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，
sinA≠0，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$．
函数f（A）=sin$（\frac{1}{2}A+\frac{π}{6}）$，
∵A∈$（0，\frac{2π}{3}）$，$（\frac{1}{2}A+\frac{π}{6}）$∈$（\frac{π}{6}，\frac{π}{2}）$．
∴f（A）=$（\frac{1}{2}，1）$．

点评 本题考查了正弦定理、和差公式、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．