Question

19．过抛物线y²=4x的焦点作直线交抛物线于A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）两点，若x₁+x₂=10，则弦AB的长度为12．

Answer 1

分析 根据抛物线的方程求出准线方程是x=-1，结合抛物线的定义可得|AF|=x₁+1且|BF|=x₂+1，两式相加并结合x₁+x₂=10，即可得到|AB|的值为12．

解答 解：∵抛物线方程为y²=4x，
∴p=2，可得抛物线的准线方程是x=-1，
∵过抛物线 y²=4x的焦点F作直线交抛物线于A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
∴根据抛物线的定义，可得|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1，
因此，线段AB的长|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+2，
又∵x₁+x₂=10，∴|AB|=x₁+x₂+2=12．
故答案为：12．

点评 本题给出抛物线焦点弦AB端点A、B的横坐标的关系式，求AB的长度，着重考查了抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．