Question

1．已知f（x）是定义域为R的奇函数，若?x∈R，f′（x）＞-2，则不等式f（x-1）＜x²（3-2lnx）+3（1-2x）的解集是（　　）

• A． （0，1）
• B． （1，+∞）
• C． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• D． （$\frac{1}{2}$，1）

Answer 1

分析 构造函数g（x），求函数的导数，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．

解答 解：设g（x）=f（x-1）-x²（3-2lnx）-3（1-2x），
则g′（x）=f′（x-1）+4xlnx-4x+6，
设h（x）=4xlnx-4x+6，则h′（x）=4lnx，
由h′（x）＞0得x＞1，
由h′（x）＜0得0＜x＜1，
即当x=1时，函数h（x）取得极小值同时也是最小值h（1）=2，
∵f′（x-1）＞-2，h（x）≥2，
∴f′（x-1）+h（x）＞-2+2=0，
即g′（x）=f′（x-1）-x²（3-2lnx）-3（1-2x）＞0，
即g（x）在（0，+∞）上为增函数，
则当x=1时，g（1）=f（1-1）-1²（3-2ln1）-3（1-2）=0，
则不等式f（x-1）＜x²（3-2lnx）+3（1-2x）等价为g（x）＜0，即g（x）＜g（1），
则x＜1，
即不等式f（x-1）＜x²（3-2lnx）+3（1-2x）的解集是（0，1），
故选：A．

点评 本题主要考查不等式的求解，构造函数，求函数的导数，利用导数和函数单调性之间的关系是解决本题的关键．综合性较强．