Question

正数数列{a_n}中，S_n=

1

2

（a_n+

1

an

）．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）猜想a_n的表达式并证明．

Answer 1

考点：数学归纳法

专题：推理和证明

分析：（1）分别令n=1，2，3解方程即可求a₁，a₂，a₃；
（2）猜想a_n的表达式并利用归纳法即可得到结论．

解答： （1）解：∵S_n=

1

2

（a_n+

1

an

），∴a₁=

1

2

（a₁+

1

a1

），解得a₁=1
由a₁+a₂=

1

2

（a₂+

1

a2

）得a₁+a₂=

1

2

（

a 2 2 +1

a2

），得a₂=

2

-1．
由a₁+a₂+a₃=

1

2

（a₃+

1

a3

）得a₃=

3

-

2

，
∴a₁=1，a₂=

2

-1，a₃=

3

-

2

．
（2）猜想：a_n=

n

-

n-1

．
证明：①n=1时显然正确；②设n=k时成立，即a_k=

k

-

k-1

，
则n=k+1时，a_k+1=S_k+1-S_k=a_k+1-1=0，
解得a_k+1=

k+1

-

k

（取正值）．即n=k+1时命题也成立．
由①②知命题对任意n∈N₊都成立．

点评：本题主要考查数列通项公式的求解和证明，利用数学归纳法是解决本题的关键．