Question

已知二次函数f（x）满足：f（0）=f（1）=1，且f(

1

2

)=

3

4

．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在(-

1

2

，2)的值域．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）【解法一】设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），根据题意列出方程组，求出a、b、c的值即可；
【解法二】根据题意求出f（x）的对称轴与顶点坐标，设出f（x）的顶点式方程，求出它的解析式；
（Ⅱ）根据f（x）的解析式，结合对称轴，求出f（x）在闭区间上的值域即可．

解答： 解：（Ⅰ）【解法一】设f（x）=ax²+bx+c，（a≠0），
由已知得

c=a+b+c=1 1 4 a+ 1 2 b+c= 3 4

，
解得a=1，b=-1，c=1，
∴f（x）=x²-x+1；
【解法二】∵f（0）=f（1）=1，且f(

1

2

)=

3

4

，
∴f（x）的对称轴是x=

1

2

，顶点为(

1

2

，

3

4

)，
∴设f(x)=a(x-

1

2

)2+

3

4

，
∵f(0)=

1

4

a+

3

4

=1，
解得a=1；
∴f(x)=(x-

1

2

)2+

3

4

=x2-x+1；
（Ⅱ）∵f（x）=x²-x+1的对称轴是x=

1

2

，
且f(

1

2

)=

3

4

，
f(-

1

2

)=

1

4

+

1

2

+1=

7

4

，
f（2）=4-2+1=3，
∴f（x）的值域为[

3

4

，3)．

点评：本题考查了二次函数的图象与性质的应用问题，考查了求二次函数的解析式与值域的应用问题，是基础题目