Question

13．已知P为椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{8}$=1上任意一点，AB为⊙T：（x+1）²+y²=1的任意一条直径，则$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$的取值范围是[3，15]．

Answer 1

分析 $\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（$\overrightarrow{TA}$-$\overrightarrow{TP}$）•（$\overrightarrow{TB}$-$\overrightarrow{TP}$）=$\overrightarrow{TA}$•$\overrightarrow{TB}$-$\overrightarrow{TP}$•（$\overrightarrow{TA}$+$\overrightarrow{TB}$）+$\overrightarrow{TP}$²=-|TA|•|TB|•cosπ-0+|TP|²=-1+|TP|²．再结合|TP|的范围即可求出结论．

解答 解：∵$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$=（$\overrightarrow{TA}$-$\overrightarrow{TP}$）•（$\overrightarrow{TB}$-$\overrightarrow{TP}$）
=$\overrightarrow{TA}$•$\overrightarrow{TB}$-$\overrightarrow{TP}$•（$\overrightarrow{TA}$+$\overrightarrow{TB}$）+$\overrightarrow{TP}$²=-|TA|•|TB|•cosπ-0+|TP|²
=-1+|TP|²．
∵T为椭圆的左焦点
∴|TP|∈[a-c，a+c]=[2，4]
∴$\overrightarrow{PA}$•$\overrightarrow{PB}$∈[3，15]．
故答案为：[3，15]．

点评 本题主要考查椭圆的基本性质．解决本题的关键在于知道T为椭圆的右焦点并且会把所求问题转化．