题目内容
19．设数列{an}的前n项和Sn=2n+1-2，数列{bn}满足bn=n•an．（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{bn}的前n项和Tn．
分析 （1）Sn=2n+1-2，当n=1时，a1=2；当n≥2时，an=Sn-Sn-1，即可得出．
（2）bn=n•an=n•2n．利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．
解答 解：（1）∵Sn=2n+1-2，
∴当n=1时，a1=2；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+1-2-（2n-2）=2n，
当n=1时上式也成立，
∴an=2n．
（2）bn=n•an=n•2n．
∴数列{bn}的前n项和Tn=2+2×22+3×23+…+n•2n，
∴2Tn=22+2×23+…+（n-1）•2n+n•2n+1，
∴-Tn=2+22+…+2n-n•2n+1=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2n+1=（1-n）•2n+1-2，
∴Tn=（n-1）•2n+1+2．
点评 本题考查了“错位相减法”与等比数列的前n项和公式、递推关系的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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