Question

16．设函数f（x）=e^x（x³-3x+3）-ae^x-x，e为自然对数的底数，若不等式f（x）≤0在x∈[-2，+∞）有解，则实数a的最小值为1-$\frac{1}{e}$．

Answer 1

分析 化简可得a≥x³-3x+3-$\frac{x}{{e}^{x}}$，令g（x）=x³-3x+3-$\frac{x}{{e}^{x}}$，从而求导g′（x）=3x²-3+$\frac{x-1}{{e}^{x}}$=（x-1）（3x+3+$\frac{1}{{e}^{x}}$），从而确定g_min（x）=g（1）=1-3+3-$\frac{1}{e}$=1-$\frac{1}{e}$；从而解得．

解答 解：∵f（x）=e^x（x³-3x+3）-ae^x-x≤0，
∴a≥x³-3x+3-$\frac{x}{{e}^{x}}$，
令g（x）=x³-3x+3-$\frac{x}{{e}^{x}}$，
g′（x）=3x²-3+$\frac{x-1}{{e}^{x}}$
=（x-1）（3x+3+$\frac{1}{{e}^{x}}$），
故当x∈[-2，1）时，g′（x）＜0，
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，
故g（x）在[-2，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；
故g_min（x）=g（1）=1-3+3-$\frac{1}{e}$=1-$\frac{1}{e}$；
故答案为：1-$\frac{1}{e}$．

点评 本题考查了不等式的化简与应用，同时考查了导数的综合应用及存在性问题的应用．