Question

10．集合A={x|$\frac{x+3}{2-x}$≥1}，函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$$\frac{x-{a}^{2}-1}{x-a}$的定义域为集合B．
（1）求集合A和B；
（2）若A?B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）移项，利用二次不等式的解法，求出A，利用真数大于0，求出B；
（2）根据A?B，建立不等式，求实数a的取值范围．

解答 解：（1）由$\frac{x+3}{2-x}$≥1，可得$\frac{2x+1}{x-2}$≤0，∴$\frac{1}{2}$-≤x＜2，
∴A=[-$\frac{1}{2}$，2）；
由$\frac{x-{a}^{2}-1}{x-a}$＞0，
可得（x-a）（x-a²+1）＞0，
∵a²+1-a=（a-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$＞0，
∴a²+1＞a，
∴x＜a或x＞a²+1，
∴B=（-∞，a）∪（a²+1，+∞）；
（2）∵A?B，
∴a≥2或a²+1＜-$\frac{1}{2}$（舍去），
∴a≥2．

点评 本题考查不等式的解法，考查集合之间的关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．