题目内容
△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列命题正确的是 （写出正确命题的编号）．
①总存在某内角α，使cosα≥
；
②若AsinB＞BsinA，则B＞A；
③存在某钝角△ABC，有tanA+tanB+tanC＞0；
④若2a
+b
+c
=
，则△ABC的最小角小于
．
①总存在某内角α，使cosα≥
| 1 |
| 2 |
②若AsinB＞BsinA，则B＞A；
③存在某钝角△ABC，有tanA+tanB+tanC＞0；
④若2a
| BC |
| CA |
| AB |
| 0 |
| π |
| 6 |
考点：命题的真假判断与应用
专题：简易逻辑
分析：对于①，可先根据三角形内角和定理判断角α的范围，从而确定cosα的值域；
对于②，结合式子的特点，可构造函数y=
，研究其单调性解决问题；
对于③，利用内角和定理结合两角和的正切公式研究tanA+tanB+tanC的符号即可；
对于④，可以利用平面向量的运算方法将给的条件转化为三边a，b，c之间的关系，然后找到最小边，利用余弦定理求其余弦值，问题可获解决．
对于②，结合式子的特点，可构造函数y=
| sinx |
| x |
对于③，利用内角和定理结合两角和的正切公式研究tanA+tanB+tanC的符号即可；
对于④，可以利用平面向量的运算方法将给的条件转化为三边a，b，c之间的关系，然后找到最小边，利用余弦定理求其余弦值，问题可获解决．
解答：
解：对于①，假设三个内角都大于60°，则三内角和必大于180°，与内角和定理矛盾，故必有一内角小于或等于60°，设为α，则cosα≥cos60°=
，故①为真命题；
对于②，由题意不妨令f(x)=
，x∈(0，
)，因为f′(x)=
，因为x∈(0，
)时，tanx＞x＞0，所以
＞x，所以xcosx-sinx＜0，所以f′（x）＜0，即f（x）在x∈(0，
)上为减函数，所以题意得AsinB＞BsinA即为
＞
，则应有B＜A，故②为假命题；
对于③，由题意不妨设C＞
，则A，B皆为锐角，且tanA＞0，tanB＞0，tanC＜0．又tanC=-tan(A+B)=-
，整理得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC＜0，故③为假命题；
对于④，由2a
+b
+c
=
得2a
+b
+c(
+
)=（2a-c）
+(b-c)
=
，即(2a-c)
=(c-b)
，而
，
不共线，所以2a-c=0，b-c=0，解得c=2a，b=2a，则a是最小边，所以A为最小角，所以cosA=
=
=
＞
，故A＜
，故④正确．
故答案为①④．
| 1 |
| 2 |
对于②，由题意不妨令f(x)=
| sinx |
| x |
| π |
| 2 |
| xcosx-sinx |
| x2 |
| π |
| 2 |
| sinx |
| cosx |
| π |
| 2 |
| sinB |
| B |
| sinA |
| A |
对于③，由题意不妨设C＞
| π |
| 2 |
| tanA+tanB |
| 1-tanA•tanB |
对于④，由2a
| BC |
| CA |
| AB |
| 0 |
| BC |
| CA |
| AC |
| CB |
| BC |
| CA |
| 0 |
| BC |
| CA |
| BC |
| CA |
| b2+c2-a2 |
| 2bc |
| 4a2+4a2-a2 |
| 2•2a•2a |
| 7 |
| 8 |
| ||
| 2 |
| π |
| 6 |
故答案为①④．
点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了三角函数与解三角形、利用导数求函数的最值以及不等式的应用等知识，有一定难度．
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