Question

12．已知双曲线过点$（3，\sqrt{15}）$，渐进线方程为$y=±\sqrt{3}x$，圆C经过双曲线的一个顶点和一个焦点，且圆心在双曲线上，则圆心到该双曲线的中心的距离为（　　）

• A． 3
• B． $\sqrt{5}$
• C． $2\sqrt{6}$
• D． $\sqrt{15}$

Answer 1

分析 可设双曲线的方程为3x²-y²=λ（λ≠0），代入点$（3，\sqrt{15}）$，得双曲线的方程，求出顶点，焦点．又圆心在双曲线上，所以圆C应过左顶点、左焦点或右顶点、右焦点，即可得到圆心的横坐标，设圆心的纵坐标为m，代入双曲线的方程，可得m，由两点的距离公式，由此能得到所求的距离．

解答 解：由题意双曲线过点$（3，\sqrt{15}）$，渐进线方程为$y=±\sqrt{3}x$，
可设双曲线的方程为3x²-y²=λ（λ≠0），
代入点$（3，\sqrt{15}）$，可得λ=3×9-15=12，
易得双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，
顶点为（±2，0），焦点为（±4，0）．又圆心在双曲线上，
所以圆C应过左顶点、左焦点或右顶点、右焦点，即圆心的横坐标为±3，
设圆心的纵坐标为m，则$\frac{9}{4}$-$\frac{{m}^{2}}{12}$=1，
所以m²=15，
所求的距离为$\sqrt{9+15}$=2$\sqrt{6}$．
故选C．

点评 本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意点到直线的距离公式的合理运用，考查运算能力，属于中档题．