Question

已知函数f（x）=x²-2ax+2．
（1）当x∈（-

1

2

，+∞）时f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．
（2）当x∈[-1，+∞）时f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．
（3）若x∈[

3

2

，+∞）时f（x）≥a恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：区分图象的对称轴与区间[-1，+∞）的关系，根据二次函数在对称轴两边的单调性，求最小值即可．

解答： 解：（1）f（x）=x²-2ax+2=（x-a）²+2-a²
f（x）图象的对称轴为x=a
为使f（x）≥a在（-

1

2

，+∞）上恒成立，
只需f（x）在（-

1

2

，?+∞）上的最小值大于或等于a即可，
∴①a＜-

1

2

时，f（-

1

2

）最小，解得a＜-

1

2

；
 ②a≥-

1

2

时，f（a）最小，解

a≥- 1 2 f(a)=a2-2a2+2≥a

，解得-2≤a≤1，所以-

1

2

≤a≤1；
综上所述a≤1；
（2）为使f（x）≥a在[-1，+∞）上恒成立，
只需f（x）在[-1，?+∞）上的最小值大于或等于a即可，
∴①a＜-1时，f（-1）最小，解得-3≤a＜-1
 ②a≥-1时，f（a）最小，解

a≥-1 f(a)=2-a2≥a

解得-1≤a≤1
综上所述-3≤a≤1；
（3）为使f（x）≥a在[

3

2

，+∞）上恒成立，
只需f（x）在[

3

2

，?+∞）上的最小值大于或等于a即可，
∴①a＜

3

2

时，f（

3

2

）最小，即(

3

2

)2-3a+2≥a，解得a≤

13

16

，所以a≤

13

16

；
 ②a≥

3

2

时，f（a）最小，解

a≤ 3 2 f(a)=2-a2≥a

得无解；
综上a≤

13

16

；
解得-1≤a≤1

点评：本题考查二次函数在给定区间上的恒成立问题，关键是讨论对称轴与区间的关系，转化为对称轴左右单调性相反，从而确定函数最值，属于基础题，经常考查．