Question

(本小题满分16分)
已知,
且.
(Ⅰ)当时,求在处的切线方程；
(Ⅱ)当时,设所对应的自变量取值区间的长度为(闭区间
 的长度定义为),试求的最大值；
(Ⅲ)是否存在这样的，使得当时,?若存在,求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

(Ⅰ) 所求切线方程为,
(Ⅱ) 当时,取得最大值为
(Ⅲ) 满足题意的存在,且的取值范围是

解: (Ⅰ)当时,.
因为当时,,,
且,
所以当时,,且…………………………(3分)
由于,所以,又,
故所求切线方程为,
即………………………………………………………(5分)
(Ⅱ) 因为,所以,则  
当时,因为,,
所以由,解得,
从而当时, …………………………………(6分)
当时,因为,,
所以由,解得,
从而当时, ……………………………(7分)
③当时,因为,
从而 一定不成立………………………………………………………(8分)
综上得,当且仅当时,,
故 …………………………………(9分)
从而当时,取得最大值为………………………………………(10分)
(Ⅲ)“当时,”等价于“对恒成立”,
即“(*)对恒成立” ……………………(11分)
当时,,则当时,,则(*)可化为
,即,而当时,,
所以,从而适合题意……………………………………………………(12分)
当时,.
当时,(*)可化为,即,而,
所以,此时要求……………………………………………(13分)
当时,(*)可化为,
所以,此时只要求……………………………………………(14分)
(3)当时,(*)可化为,即,而,
所以,此时要求……………………………………………(15分)
由⑴⑵⑶,得符合题意要求.
综合①②知,满足题意的存在,且的取值范围是……………………(16分)