Question

如图，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD．
（1）求证：平面ABD⊥平面ACD；
（2）若AB=BC=2BD，求二面角B-AC-D的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由AB⊥CD，BD⊥CD，得CD⊥平面ABD．由此能证明平面ABD⊥平面ACD．
（2）过D作DE⊥BC于E，由AB⊥DE知，DE⊥平面ABC，从而DE⊥AC．过E作EF⊥AC于F，连接DF，∠DFE就是二面角B-AC-D的平面角．由此能求出二面角B-AC-D的正切值．

解答： （1）证明：∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，
∴AB⊥CD．
又BD⊥CD，且BD∩AB=B，
∴CD⊥平面ABD．
又CD?平面ACD，
∴平面ABD⊥平面ACD．…（5分）
（2）解：如图，过D作DE⊥BC于E，由
AB⊥DE知，DE⊥平面ABC，
∴DE⊥AC．过E作EF⊥AC于F，连接DF，
∴AC⊥平面DEF，则AC⊥DF，
∴∠DFE就是二面角B-AC-D的平面角．
设BD=x，则AB=BC=2x．
在Rt△BDC中，CD=

3

x，BD•CD=BC•DE，
则DE=

3

2

x，BE=

1

2

x，CE=

3

2

x．由Rt△CEF∽Rt△CAB得

EF

CE

=

AB

AC

，
∴EF=

3 2

4

x，∴在Rt△DEF中，tan∠DFE=

DE

EF

=

3 2 x

3 2 4 x

=

6

3

．
故二面角B-AC-D的正切值为

6

3

．…（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．