Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n=na_n-n（n-1），其中n∈N^*．
（1）求证：{a_n}是等差数列；
（2）求证：a_n•a_n+1＜4S_n；
（3）求证：

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

＜

5

3

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：证明题,等差数列与等比数列

分析：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-2（n-1），易证a_n-a_n-1=2（n≥2，n∈N^*），于是可证得：{a_n}是等差数列；
（2）由（1）得a_n=2n-1，S_n=n²，易证a_n•a_n+1=（2n-1）•（2n+1）=4n²-1＜4S_n；
（3）易求得

1

Sn

＜

4

an•an+1

=

2(an+1-an)

an•an+1

=2(

1

an

-

1

an+1

)，从而可证得

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

＜

5

3

．

解答： 证明：（1）当n≥2，n∈N^*时，由已知S_n=na_n-n（n-1）得S_n-1=（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2）．
两式相减得S_n-S_n-1=na_n-（n-1）a_n-1-2（n-1）．又S_n-S_n-1=a_n，所以（n-1）a_n-（n-1）a_n-1=2（n-1）．
即a_n-a_n-1=2（n≥2，n∈N^*）．所以{a_n}是以1为首项、2为公差的等差数列．（4分）
（2）由（1）得a_n=2n-1，S_n=n²，n∈N^*．
所以a_n•a_n+1=（2n-1）•（2n+1）=4n²-1＜4S_n；  （8分）
（3）由（2）得

1

Sn

＜

4

an•an+1

=

2(an+1-an)

an•an+1

=2(

1

an

-

1

an+1

)，
所以

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn

≤1+2[(

1

a2

-

1

a3

)+(

1

a3

-

1

a4

)+…+(

1

an

-

1

an+1

)]
=1+2(

1

a2

-

1

an+1

)=1+2(

1

3

-

1

2n+1

)＜1+

2

3

=

5

3

．（12分）

点评：本题考查数列的求和，着重考查运算、推理与证明的能力，突出考查等差关系的确定与裂项法求和的综合应用，属于难题．