Question

设{a_n}是等差数列，且各项均为非零实数，s_n是数列{a_n}的前n项和．
（1）若等式

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

kn+b

a1an+1

对任意n（n∈N⁺）恒成立，其中k、b是常数，求k、b的值；
（2）对于给定的正整数n（n＞1）和正数m，数列{a_n}满足条件a₁²+a（_n+1）²≤m，求s_n的最大值．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）设公差为d，

1

anan+1

=

1

[a1+(n-1)d](a1+nd)

=

1

d

(

1

an

-

1

an+1

)，由此利用裂项求和法求出

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

n

a1an+1

=

kn+b

a1an+1

，从而得到k=1，b=0．
（2）由a₁²+a_n+1²≤m，得2a₁a_n+1≤a₁²+a_n+1²≤m，所以（a₁+a_n+11）²≤2m，由此能求出S_n的最大值．

解答： （1）设公差为d，

1

anan+1

=

1

[a1+(n-1)d](a1+nd)

=

1

d

(

1

an

-

1

an+1

)，
∴

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

d

（

1

a1

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a3

+…+

1

an

-

1

an+1

）
=

1

d

（

1

a1

-

1

an+1

）
=

1

d

•

an+1-an

a1an+1

=

1

d

•

nd

a1an+1

=

n

a1an+1

=

kn+b

a1an+1

，
∴k=1，b=0．
（2）∵a₁²+a_n+1²≤m，
∴由均值不等式得2a₁a_n+1≤a₁²+a_n+1²≤m
∴（a₁+a_n+11）²≤2m
|a₁+a_n+1|≤

2

m，
S_n=

n

2

（a₁+a_n+1）≤

n

2

|a₁+a_n+1|≤

2m

，
∴S_n≤

2 2m

n

，当n=1时，

2 2m

n

有最大值2

2m

，
S_n≤2

2m

，S_n的最大值为2

2m

．

点评：本题考查常数值的求法，考查数列前n项和的最大值的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．