Question

已知四棱锥P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，点E是PB的中点，则异面直线AE与PD所成角的余弦值为（　　）

• A、

  1

  3

• B、

  2

  3

• C、

  3

  3

• D、

  2

  3

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：设棱长都为1，连接AC，BD交于点O，连接OE．由于所有棱长都相等，不妨设ABCD是正方形．利用三角形的中位线定理可得：OE∥PD，因此∠AEO或其补角为异面直线AE与PD所成的角．在△OAE中，由余弦定理得cos∠AEO=

AE2+OE2-OA2

2AE•OE

．

解答： 解：设棱长都为1，连接AC，BD交于点O，连接OE．
∵所有棱长都相等，不妨设ABCD是正方形．
∴O是BD的中点，且OE∥PD，
∴∠AEO或其补角为异面直线AE与PD所成的角．
又OE=

1

2

PD=

1

2

，AE=

3

2

AB=

3

2

，OA=

1

2

AC=

1

2

12+12

=

2

2

．
在△OAE中，由余弦定理得cos∠AEO=

AE2+OE2-OA2

2AE•OE

=

3

3

．

点评：本题考查了异面直线所成的角、三角形的中位线定理、余弦定理、正方形的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力，属于基础题