Question

数列{a_n}中，已知an=

2n+1

3n

，S_n是数列{a_n}的前n项和，求证：S_n＜2．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：利用错位相减法求出S_n=2-

n+2

3n

．由此能证明S_n＜2．

解答： 证明：∵an=

2n+1

3n

，S_n是数列{a_n}的前n项和，
∴Sn=

3

3

+

5

32

+

7

33

+…+

2n+1

3n

，①

1

3

Sn=

3

32

+

5

33

+

7

34

+…+

2n+1

3n+1

，②
①-②，得

2

3

Sn=1+

2

32

+

2

33

+…+

2

3n

-

2n+1

3n+1

=1+2×

1 9 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

2n+1

3n+1

=

4

3

-

1

3n

-

2n+1

3n+1

．
∴S_n=2-

n+2

3n

．
∴S_n＜2．

点评：本题考查不等式的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．