Question

对于集合Ω={θ₁，θ₂，…，θ_n}和常数θ₀，定义：μ=

cos2(θ1-θ0)+cos2(θ2-θ0)+…+cos2(θn-θ0)

n

为集合Ω相对θ₀的“余弦方差”．
（1）若集合Ω={

π

3

，

π

4

}，θ₀=0，求集合Ω相对θ₀的“余弦方差”；
（2）若集合Ω={

π

3

，

2π

3

，π}，证明集合Ω相对于任何常数θ₀的“余弦方差”是一个常数，并求这个常数；
（3）若集合Ω={

π

4

，α，β}，α∈[0，π），β∈[π，2π），相对于任何常数θ₀的“余弦方差”是一个常数，求α，β的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：新定义,三角函数的求值

分析：由新定义结合三角函数公式分别计算可得．

解答： 解：（1）当集合为Ω={

π

3

，

π

4

}，θ₀=0时，
集合Ω相对θ₀的“余弦方差μ=

cos2( π 3 -0)+cos2( π 4 -0)

2

=

3

8

；
（2）当集合Ω={

π

3

，

2π

3

，π}时，
集合Ω相对于常数θ₀的“余弦方差”
μ=

cos2( π 3 -θ0)+cos2( 2π 3 -θ0)+cos2(π-θ0)

3

=

( 1 2 cosθ0+ 3 2 sinθ0)2+(- 1 2 cosθ0+ 3 2 sinθ0)2+cos2θ0

3

=

1 2 cos2θ0+ 3 2 sin2θ0+cos2θ0

3

=

1

2

∴此时“余弦方差”是一个常数，且常数为

1

2

；
（3）当集合Ω={

π

4

，α，β}，α∈[0，π），β∈[π，2π）时，
集合Ω相对于任何常数θ₀的“余弦方差”
μ=

cos2( π 4 -θ0)+cos2(α-θ0)+cos2(β-θ0)

3

=

1

3

•[（

1

2

+cos2α+cos2β）cos²θ₀+（1+sin2α+sin2β）sinθ₀cosθ₀+（

1

2

+sin2α+sin2β）sin²θ₀]
要是上式是一个常数，则1+sin2α+sin2β=0且

1

2

+cos2α+cos2β=

1

2

+sin2α+sin2β
由α∈[0，π），β∈[π，2π）取α=

7π

12

，β=

11π

12

可满足上式．

点评：本题考查新定义，涉及三角函数的恒等变换，属中档题．