Question

已知函数f（x）=asin（ωx+

π

3

），g（x）=btan（ωx-

π

3

）（ω＞0）的最小正周期之和为

3π

2

，且f（

π

2

）=g（

π

2

），f（

π

4

）+

3

g（

π

4

）=1，
（1）求f（x）和g（x）的解析式；
（2）求g（x）的单调区间和对称中心；
（3）解不等式-

1

2

≤g（x）＜

3

2

．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）由题意及函数解析式和函数周期之和，求出ω的值，再利用已知等式条件建立a，b的方程，解出结果，求出函数的解析式．
（2）由于g（x）=

1

2

tan（2x-

π

3

），令 kπ-

π

2

＜2x-

π

3

＜kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数的增区间．令 2x-

π

3

=

1

2

kπ，求得x的值，可得函数g（x）的对称中心的坐标．
（3）由不等式可得-1≤tan（2x-

π

3

）＜

3

，可得kπ-

π

4

≤2x-

π

3

＜kπ+

π

3

，由此求得x的范围，可得不等式的解集．

解答： 解：（1）由条件得

2π

ω

+

π

ω

=

3π

2

，∴ω=2．
由f（

π

2

）=g（

π

2

），得a=2b①，
由f（

π

4

）+

3

g（

π

4

）=1，得a=2-2b②，
∴由①②解得a=1，b=

1

2

，∴f（x）=sin（2x+

π

3

），g（x）=

1

2

tan（2x-

π

3

）．
（2）由于g（x）=

1

2

tan（2x-

π

3

），令 kπ-

π

2

＜2x-

π

3

＜kπ+

π

2

，k∈z，
求得

kπ

2

-

π

12

＜x＜

kπ

2

+

5π

12

，可得函数的增区间为（

kπ

2

-

π

12

，

kπ

2

+

5π

12

），k∈z．
令 2x-

π

3

=

1

2

kπ，求得x=

kπ

4

+

π

6

，k∈z，故函数g（x）的对称中心为（

kπ

4

+

π

6

，0），k∈z．
（3）由不等式-

1

2

≤g（x）＜

3

2

，可得-1≤tan（2x-

π

3

）＜

3

，
∴kπ-

π

4

≤2x-

π

3

＜kπ+

π

3

，求得kπ-

π

4

≤2x-

π

3

＜kπ+

π

3

，k∈z，

kπ

2

+

π

24

≤x＜

kπ

2

+

π

3

，k∈z，
故不等式的解集为[

kπ

2

+

π

24

，

kπ

2

+

π

3

），k∈z．

点评：本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的图象的单调性和对称性，解三角不等式，属于基础题．