Question

已知函数f（x）=lnx-ax+2在点（1，f（1））处的切线与直线l：x-y-1=0垂直，
（1）求实数a的值和函数f（x）的单调区间；
（2）若g（n）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，h（n）=lnn，数列{a_n}：a_n=2g（n）-h（n），求实数m的取值范围，使对任意n∈N^*，不等式a_n＞log₂m-4log_m2-1恒成立．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）求函数的导数，根据导数的几何意义，以及切线关系即可，求实数a的值和函数f（x）的单调区间；
（2）求出数列的通项公式，将不等式恒成立进行转化，利用参数分离法即可得到结论．

解答： 解：（1）由已知f′(x)=

1

x

-a，f′（1）=1-a=-1，
∴a=2．
由f′(x)=

1

x

-2＞0，解得0＜x＜

1

2

，
由f′(x)=

1

x

-2＜0，解得x＞

1

2

．
∴函数f（x）的单调递增区间是(0，

1

2

)，单调递减区间是(

1

2

，+∞)．
（2）由已知an=2g(n)-lnn=2(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

)-lnnan+1=2(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n+1

)-ln(n+1)，
∴an+1-an=

2

n+1

+lnn-ln(n+1)=ln

n

n+1

-

2n

n+1

+2，
由（1）知函数f（x）在区间[

1

2

，1]上单调递减
由于

1

2

≤

n

n+1

＜1，∴ln

n

n+1

-

2n

n+1

+2=f(

n

n+1

)＞f(1)=0即a_n+1＞a_n．
∴log₂m-4log_m2-1＜（a_n）_min=a₁=2，
解得

1

2

＜m＜16且m≠1．
∴实数m的取值范围是(

1

2

，1)∪(1，16)．

点评：本题主要考查导数的几何意义以及函数单调性和导数之间的关系，将不等式恒成立进行转化，利用数列的单调性是解决本题的关键．