Question

已知椭圆G：＋y²＝1.过轴上的动点(m,0)作圆x²＋y²＝1的切线l交椭圆G于A，B两点．
（1）求椭圆G上的点到直线的最大距离;
（2）①当实数时,求A，B两点坐标;
②将|AB|表示为m的函数，并求|AB|的最大值．

Answer 1

（1）；（2）①当时点的坐标分别为；② 2

试题分析：（1）设出与直线平行的直线，并与椭圆方程联立消去（或）得关于的一元二次方程，令判别式为0解得的值（应为2个值）。此时直线与椭圆相切，分析可知取负值时两直线距离最大，此距离即为椭圆上的点到直线的最大距离。（2）①当时，切线的方程为，代入椭圆方程可得坐标。②分析可知，由①可知当时。当时，切线斜率存在设切线方程为，根据切线与圆相切即圆心到直线的距离等于半径可得与间的关系式。再将切线方程与椭圆方程联立消去（或）得关于的一元二次方程，可知判别式应大于0且可得根与系数的关系，根据弦长公式可得，根据与间的关系式可消去一个量，可用基本不等式求最值。
（1）设直线，带入椭圆方程得，
得，（4分）
由图形得直线与直线的距离为椭圆G上的点到直线的最大距离为（6分）
（2）①由题意知，.
当时，切线的方程为，点的坐标分别为，此时.（8分）
当时，同理可得.（9分）
②当|m|＞1时，设切线的方程为．
由得.（10分）
设两点的坐标分别为，则
.
又由与圆相切，得，即.（11分）
所以.（12分）
由于当时，，所以，．
因为，（13分）
且当时，，所以的最大值为2.