Question

如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．设为线段的中点．
（1）当点在圆上运动时，求点的轨迹的方程；
（2）若圆在点处的切线与轴交于点，试判断直线与轨迹的位置关系．

Answer 1

（1）;（2）相切

试题分析：（1）由于点在圆上运动, 为线段的中点,根据两点坐标的关系,以及点P在圆上,即可得到结论.
（2）由（1）得到轨迹的方程为椭圆方程.切线PE的斜率有两种情况：斜率不存在则可得直线与轨迹的位置关系为相切.直线斜率存在则假设点P的坐标,写出切线方程,以及点N的坐标,再写出直线MN的方程.联立椭圆方程,根据判别式的值即可得到结论.
（1）设，则．点在圆上，，
即点的轨迹的方程为．                4分
（2）解法一：
（i）当直线的斜率不存在时，直线的方程为或．显然与轨迹相切；
（2）当直线的斜率存在时，设的方程为，
因为直线与圆相切，所以，即．      7分
又直线的斜率等于，点的坐标为．
所以直线的方程为，即.          9分
由得．
．故直线与轨迹相切．
综上（i）（2）知，直线与轨迹相切.                 13分
解法二：设（），则．              5分
（i）当时，直线的方程为或，此时，直线与轨迹相切；
（2）当时，直线的方程为，即．
令，则．，又点，
所以直线的方程为，即．      9分
由得即．
．所以，直线与轨迹相切．
综上（i）（2）知，直线与轨迹相切．                 13分