Question

设f（x）=x-ln|x|．
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）请用描点法画出函数f（x）的大致图象；
（2）设实常数a，b满足ab＞0，试求f（x）在闭区间[a，b]上的最小值．

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）先通过代特殊值验证f（x）的奇偶性，若具有奇偶性再用定义证明；
（2）易知f（x）非奇非偶，所以分x＞0和x＜0两种情况，先研究函数的性质，如单调性、坐标轴交点、极值等；
（3）根据第（2）问得到的单调性分a、b同正和同负两种情况讨论求值．

解答： 解：（1）∵f（e）=e-1，f（-e）=-e-1，显然，f（-e）≠f（e）且f（-e）≠-f（e），所以函数f（x）是非奇非偶函数；
（2）∵f（x）=x-ln|x|∴f(x)=

x-lnx，      x＞0 x-ln(-x)， x＜0

，
①当x＞0时，f′（x）=1-

1

x

=

x-1

x

，当x∈（0，1），f′（x）＜0，∴f（x）在（0，1）上递减；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0∴f（x）在（1，+∞）上递增；且当x→0时，lnx→-∞，所以x-lnx→+∞；当x→+∞时，∵x比lnx增长得快，∴x-lnx→+∞；x=1时取得最小值1．
②当x＜0时，f′（x）=1-

1

x

＞0恒成立，∴f（x）在（-∞，0）上递增；且x→-∞时，f（x）→-∞；当x→0时，f（x）→+∞．
∴f（x）=x-ln|x|的图象为

（3）∵ab＞0，∴a＜b＜0或0＜a＜b，
①当a＜b＜0时，由（2）知f（x）在[a，b]上递增，∴y_min=f（a）=a-ln|a|；
②当0＜a＜b≤1时，由（2）知，f（x）在[a，b]上递减，∴y_min=f（b）=b-ln|b|；
③当0＜a≤1＜b时，f（x）在[a，1]上递减，在[1，b]上递增∴y_min=f（1）=1；
④当1≤a＜b时，f（x）在[a，b]上递增，∴y_min=f（a）=a-lna

点评：研究函数的性质一定要先看定义域，再根据函数奇偶性的定义（或图象）判断奇偶性，利用导数（或图象或定义）研究单调性；对于最值问题，主要还是利用单调性求最值，不能确定单调性的，要按照增减区间的分界点是否在区间内进行讨论；图象问题，还是看定义域、值域、单调性、极值等性质，然后画出简图．