Question

已知函数f（x）=sin（2ωx-

π

6

）-

1

2

图象相邻两条对称轴间的距离为

π

2

，
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（Ⅱ）函数f（x）图象向右平移φ（φ＞0）个单位后对应函数为偶函数，求φ

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由题意可得函数的周期为2×

π

2

=π=

2π

2ω

，求得ω的值，可得函数f（x）的解析式．再根据正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调增区间．
（Ⅱ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得y=sin（2x-

π

6

-2φ）-

1

2

是偶函数，故有

π

6

+2φ=kπ+

π

2

，k∈z，再结合φ＞0，可得φ的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=sin（2ωx-

π

6

）-

1

2

图象相邻两条对称轴间的距离为

π

2

，
故函数的周期为2×

π

2

=π=

2π

2ω

，∴ω=1，函数f（x）=sin（2x-

π

6

）-

1

2

．
令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈z，
故函数f（x）的单调增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，k∈z．
（Ⅱ）函数f（x）图象向右平移φ（φ＞0）个单位后对应函数为y=sin（2x-

π

6

-2φ）-

1

2

是偶函数，
故有

π

6

+2φ=kπ+

π

2

，k∈z，即φ=

kπ

2

+

π

6

，k∈z．
再根据φ＞0，可得 φ=

kπ

2

+

π

6

，k∈N．

点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的周期性和对称性，属于中档题．