Question

设函数f（x）=3ax²+2bx+c，且有a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0．
（Ⅰ）求证：a＞0，且-2＜

b

a

＜-1；
（Ⅱ）求证：函数y=f（x）在区间（0，1）内有两个不同的零点．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数零点的判定定理

专题：概率与统计

分析：（I）由a+b+c=0，f（0）＞0，f（1）＞0，消去b，得a＞c＞0，消去c，得a+b＜0，2a+b＞0，即-2a＜b＜-a，进而可得a＞0，且-2＜

b

a

＜-1；
（Ⅱ）抛物线f（x）=3ax²+2bx+c的顶点为(-

b

3a

，

3ac-b2

3a

)，结合（1）中结论，可得-

b

3a

∈(0，1)且f（0）＞0，f（1）＞0，f(-

b

3a

)=-

a2+c2-ac

3a

＜0，且图象连续不断，由函数零点存在定理可得结论．

解答： 证明：（Ⅰ）∵函数f（x）=3ax²+2bx+c，f（0）＞0，f（1）＞0，
∴c＞0，3a+2b+c＞0，…（2分）
由条件a+b+c=0，消去b，得a＞c＞0；
由条件a+b+c=0，消去c，得a+b＜0，2a+b＞0，即-2a＜b＜-a，…（5分）
∴-2＜

b

a

＜-1；                                                  …（6分）
（Ⅱ）抛物线f（x）=3ax²+2bx+c的顶点为(-

b

3a

，

3ac-b2

3a

)，
由-2＜

b

a

＜-1，得

1

3

＜-

b

3a

＜

2

3

，即有-

b

3a

∈(0，1)，…（8分）
又∵f（0）＞0，f（1）＞0，f(-

b

3a

)=-

a2+c2-ac

3a

＜0，且图象连续不断，
∴函数y=f（x）在区间(0，-

b

3a

)与(-

b

3a

，1)内分别有一个零点，
故函数y=f（x）在（0，1）内有两个不同的零点．…（12分）

点评：本题考查的知识点是函数零点的判定定理，二次函数的图象和性质，综合性强，运算强度大，属于中档题．