Question

16．在四棱锥中P-ABCD，底面ABCD是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$AD、E、F，分别为PC、BD的中点．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）若AB=2，求三棱锥E-DFC的体积．

Answer 1

分析 （1）连接AC，由正方形性质可知，AC与BD相交于点F，推导出EF∥PA，由此能证明EF∥平面PAD．
（2）由V_E-DFC=V_F-EDC，能求出三棱锥E-DFC的体积．

解答 证明：（1）连接AC，由正方形性质可知，AC与BD相交于点F，…（1分）
所以，在△PAC中，EF∥PA…（3分）
又PA?平面PAD，EF?平面PAD…（5分）
所以EF∥平面PAD…（6分）
解：（2）AB=2，则$PA=PD=\sqrt{2}$，
因为侧面PAD⊥底面ABCD，交线为AD，且底面是正方形，
所以CD⊥平面PAD，则CD⊥PA，
由PA²+PD²=AD²得PD⊥PA，
所以PA⊥平面PDC…（8分）
又因为EF∥PA，且$EF=\frac{1}{2}PA=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
所以EF⊥平面EDC…（9分）
由CD⊥平面PAD得CD⊥PD，
所以${S_{△EDC}}=\frac{1}{2}{S_{△PDC}}=\frac{1}{2}×（{\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（11分）
从而${V_{E-DFC}}={V_{F-EDC}}=\frac{1}{3}{S_{△EDC}}•EF=\frac{1}{3}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{1}{6}$…（12分）

点评 本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．