题目内容

7．△ABC是直角边等于4的等腰直角三角形，D是斜边BC的中点，$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+m•\overrightarrow{AC}$，向量$\overrightarrow{AM}$的终点M在△ACD的内部（不含边界），则$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}$的取值范围是（-2，6）．

分析 以AB为x轴，AC为y轴，作图如右图，利用向量的坐标运算求则$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}$的取值范围．

解答 解：以AB为x轴，AC为y轴，作图如右图，
点A（0，0），B（4，0），C（0，4），D（2，2），
则$\overrightarrow{AM}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+m•\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{4}$（4，0）+m（0，4）=（1，4m），则M（1，4m）．
直线BC的方程为x+y-4=0，
当x=1时，y=3，故点（1，3）在直线BC上．
又∵点M（1，4m）在△ACD的内部（不含边界），
∴1＜4m＜3，$\frac{1}{4}$＜m＜$\frac{3}{4}$，
则$\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{BM}$═（1，4m）•（-3，4m）=16m2-3，∴-2＜16m2-3＜6，
故答案为：（-2，6）．

点评 本题考查了向量在平面几何中的运用，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于中档题．

练习册系列答案
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