Question

4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且$cosA=\frac{3}{4}，C=2A$．
（1）求sinB的值；
（2）若a=4，求△ABC的面积S的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinA，利用二倍角的余弦函数公式可求cosC=cos2A的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值，利用三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正弦函数公式可求sinB的值．
（2）由正弦定理可求b，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵由$cosA=\frac{3}{4}$得$sinA=\frac{{\sqrt{7}}}{4}$，…（1分）
∴cosC=cos2A=cos²A-sin²A=$\frac{1}{8}$，…2分
∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，…3分
又∵A+B+C=π，sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C），…4分
∴$sinB=sin（{A+C}）=sinAcosC+cosAsinC=\frac{{5\sqrt{7}}}{16}$．…（6分）
（2）由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$得$b=\frac{asinB}{sinA}=5$，…（9分）
∴△ABC的面积$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{{15\sqrt{7}}}{4}$．…（12分）

点评 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正弦函数公式，正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．