Question

9．已知数列{a_n}是首项为1，且公差不为0的等差数列，而等比数列{b_n}的前3项分别是a₁，a₂，a₆．
（1）求数列{a_n}的通项公式．
（2）如果b₁+b₂+b₃+…+b_n=5，求正整数n的值．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}的公差为d，由a₁，a₂，a₆成等比数列，求出d=3，由此能求出数列{a_n}的通项公式．…（6分）
（2）数列{b_n}的首项b₁=a₁=1，公比为q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=4，由此能求出正整数n的值．

解答 解：（1）设数列{a_n}的公差为d，…（1分）
∵a₁，a₂，a₆成等比数列，∴${{a}_{2}}^{2}={a}_{1}{a}_{6}$，…（2分）
∴（1+d）²=1×（1+5d），
由d≠0，解得d=3，…（5分）
∴a_n=1+（n-1）×3=3n-2．…（6分）
（2）∵等比数列{b_n}的前3项分别是a₁，a₂，a₆．
∴数列{b_n}的首项b₁=a₁=1，公比为q=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=4，…（7分）
由b₁+b₂+b₃+…+b_n=5，得：
b₁+b₂+b₃+…+b_n=$\frac{1-{4}^{n}}{1-4}$=5，
解得n=2．…（11分）
∴正整数n的值是2．…（12分）

点评 本题考查等差数列的通项公式的求法，考查等比数列的前几项和为5的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．