Question

12．定义在R上的函数y=f（x）对任意的x、y∈R，满足条件：f（x+y）=f（x）+f（y）-1，且当x＞0时，f（x）＞1．
（1）求f（0）的值；
（2）证明：函数f（x）是R上的单调增函数；
（3）解关于t的不等式f（2t²-t）＜1．

Answer 1

分析 （1）用赋值法分析：在f（x+y）=f（x）+f（y）-1中，令x=y=0可得：f（0）=f（0）+f（0）-1，解可得f（0）的值，即可得答案；
（2）用定义法证明：设x₁＞x₂，则x₁=x₂+（x₁-x₂），且（x₁-x₂）＞0，结合题意可得f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₂）+f（x₁-x₂）-1，作差可得f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）-1，分析可得f（x₁）-f（x₂）＞0，由增函数的定义即可得证明；
（3）根据题意，结合函数的奇偶性与f（0）=1可得2t²-t＜0，解可得t的取值范围，即可得答案．

解答 解：（1）根据题意，在f（x+y）=f（x）+f（y）-1中，
令x=y=0可得：f（0）=f（0）+f（0）-1，
解可得：f（0）=1，
（2）证明：设x₁＞x₂，则x₁=x₂+（x₁-x₂），且x₁-x₂＞0，
则有f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₂）+f（x₁-x₂）-1，
即f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）-1，
又由x₁-x₂＞0，则有f（x₁-x₂）＞1，
故有f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）-1＞0，
即函数f（x）为增函数；
（3）根据题意，f（2t²-t）＜1，
又由f（0）=1且函数f（x）为增函数，
则有2t²-t＜0，
解可得0＜t＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查抽象函数求值及函数单调性的判断，“赋值法”、“定义法”是解决抽象函数问题的有力工具．