Question

7．如图，摩天轮的半径为30m，圆心O点距地面的高度为35m，摩天轮做匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的点P的起始位置在最低点处，已知在时刻t（min）时点P距离地面的高度f（t）=Asin（ωt+φ）+h．
（1）求在2017min时点P距离地面的高度；
（2）求证：不论t为何值时f（t）+f（t+1）+f（t+2）为定值．

Answer 1

分析 （1）求出f（t）的解析式，再计算f（2017）；
（2）利用和差公式化简f（t），f（t+1），f（t+2）即可得出结论．

解答 解：（1）由题意可知f（t）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}$=3，∴ω=$\frac{2π}{3}$，
∵f（t）的最大值为65，最小值为5，
∴$\left\{\begin{array}{l}{A+h=65}\\{-A+h=5}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{A=30}\\{h=35}\end{array}\right.$，
∵f（0）=5，30sinφ+35=5，解得sinφ=-1，
∴φ=-$\frac{π}{2}$．
∴f（t）=30sin（$\frac{2π}{3}$t-$\frac{π}{2}$）+35．
∴f（2017）=f（1）=30sin$\frac{π}{6}$+35=50．
∴在2017min时，P点距离地面50米．
（2）由（1）知f（t）=30sin（$\frac{2π}{3}$t-$\frac{π}{2}$）+35=-30cos$\frac{2π}{3}$t+35，
∴f（t+1）=30sin（$\frac{2π}{3}t$+$\frac{π}{6}$）+35=15$\sqrt{3}$sin$\frac{2π}{3}$t+15cos$\frac{2π}{3}$+35，
f（t+2）=30sin（$\frac{2π}{3}$t+$\frac{5π}{6}$）+35=-15$\sqrt{3}$sin$\frac{2π}{3}$t+15cos$\frac{2π}{3}$t+35，
∴f（t）+f（t+1）+f（t+2）=35×3=105．
∴不论t为何值时f（t）+f（t+1）+f（t+2）为定值105．

点评 本题考查了三角函数模型的应用，属于中档题．