Question

3．设函数$f（x）=lnx+\frac{k}{x}，k∈R$．
（1）若曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x-2=0垂直，求f（x）的单调区间（其中e为自然对数的底数）；
（2）若对任意x₁＞x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＜x₁-x₂恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，结合切线方程求出k的值，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为$k≥-{x^2}+x=-{（{x-\frac{1}{2}}）^2}+\frac{1}{4}（{x＞0}）$恒成立，根据函数的单调性求出k的范围即可．

解答 解：（1）由$f（x）=lnx+\frac{k}{x}$，知x＞0，且$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{k}{x^2}（{x＞0}）$，…（1分）
因为曲线y=f（x）在点（e，f（e））处的切线与直线x=2垂直，所以f'（e）=0，
所以$\frac{1}{e}-\frac{k}{e^2}=0$，得k=e，…（3分）
所以$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{e}{x^2}=\frac{x-e}{x^2}（{x＞0}）$，
令f'（x）＜0，得0＜x＜e，f（x）在（0，e）上单调递减；
令f'（x）＞0，得x＞e，f（x）在（e，+∞）上单调递增，
综上，f（x）的单调减区间为（0，e），单调增区间为（e，+∞）．…（5分）
（2）因为x₁＞x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＜x₁-x₂恒成立，
则有f（x₁）-x₁＜f（x₂）-x₂，对?x₁＞x₂＞0恒成立，…（7分）
令$g（x）=f（x）-x=lnx+\frac{k}{x}-x（{x＞0}）$，则g（x）在（0，+∞）上单调递减，
所以$g'（x）=\frac{1}{x}-\frac{k}{x^2}-1≤0$在（0，+∞）上恒成立，…（9分）
所以$k≥-{x^2}+x=-{（{x-\frac{1}{2}}）^2}+\frac{1}{4}（{x＞0}）$恒成立，…（10分）
令$h（x）=-{（{x-\frac{1}{2}}）^2}+\frac{1}{4}$，则$k≥{[{h（x）}]_{max}}=\frac{1}{4}$．
所以k的取值范围是$[{\frac{1}{4}，+∞}）$．…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．