Question

如图，以锐角△ABC的边AB为直径作半圆⊙O交边BC、CA于点E、F．过点E、F分别作⊙O的切线得交点P．求证：CP⊥AB．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：立体几何

分析：连接AE、BF得交点Q，由已知得CQ⊥AB．延长FP到点K，使PK=PF，连接EF、KE．则∠PEF=∠PFE=∠EAF．连接PQ并延长交AB于点H，由已知推导出K、F、Q、E四点共圆，由此能证明CP⊥AB．

解答： 证明：如图，连接AE、BF得交点Q，
∵∠AEB=∠AFB=90°，
∴点Q为△ABC的垂心，
∴CQ⊥AB．①
延长FP到点K，使PK=PF，连接EF、KE．
由题意知∠PEF=∠PFE=∠EAF．
连接PQ并延长交AB于点H，
∵∠EQF=180°-∠AQF
=180°-（90°-∠EAF）=90°+∠EAF=90°+∠PEF，
∠K=

1

2

∠EPF=90°-∠PEF
∴∠EQF+∠K=180°．
故K、F、Q、E四点共圆，
∵PK=PE=PF，
∴P必是该圆的圆心．
∴PQ=PF．
∴∠PQF=∠PFQ=∠PFB=∠FAB=∠FAH，
∴A、H、Q、F四点共圆．
则∠PHA=∠QHA=180°-∠QFA=90°，
∴PH⊥AB，即PQ⊥AB．②
由①、②知，C、P、Q三点共线，
∴CP⊥AB．

点评：本题考查两直线垂直的证明，解题时要注意四点共圆的性质的合理运用，是中档题．