Question

7．在△ABC中，求证：a=bcosC+ccosB，b=acosC+ccosA，c=acosB+bcosA．

Answer 1

分析 由正弦定理，可得，a=2rsinA，b=2rsinB，c=2rsinC，再由诱导公式和两角和的正弦公式，即可证得．

解答 证明：由正弦定理，$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}=2r$，（r为△ABC的外接圆的半径），
则a=2rsinA，b=2rsinB，c=2rsinC，
则a=2rsinA=2rsin（B+C）=2r（sinBcosC+cosBsinC）
=2rsinBcosC+2rsinCcosB=bcosC+ccosB；
b=2rsinB=2rsin（A+C）=2r（sinAcosC+cosAsinC）
=2rsinAcosC+2rsinCcosA=acosC+ccosA；
c=2rsinC=2rsin（A+B）=2r（sinAcosB+cosAsinB）
=2rsinAcosB+2rsinBcosA=acosB+bcosA．
即有等式成立．

点评 本题考查正弦定理及运用，考查诱导公式和两角和的正弦公式的运用，考查推理能力，属于基础题．