Question

11．在数列{a_n}中，${S_n}=\frac{2}{n+1}$
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设${b_n}=\frac{S_n}{n}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）当n=1时，a₁=S₁=1；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，由此求得数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）利用裂项相消求和法进行解答．

解答 解：（1）∵在数列{a_n}中，${S_n}=\frac{2}{n+1}$，
∴当n=1时，a₁=S₁=1；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{2}{n+1}$-$\frac{2}{n}$=-$\frac{2}{n（n+1）}$．
综上所述，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1（n=1）}\\{-\frac{2}{n（n+2）}（n≥2）}\end{array}\right.$；
（2）∵${S_n}=\frac{2}{n+1}$，${b_n}=\frac{S_n}{n}$，
∴${b_n}=\frac{S_n}{n}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
∴T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=2（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$．（n∈Z⁺）．

点评 本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用裂项相消求和法是解决（2）题的关键．