Question

11．已知函数f（x）=2sin （2x+$\frac{π}{6}$）．
（1）求函数f（x）的最小正周期及其单调减区间；
（2）用“五点法”画出函数g（x）=f（x），x∈[-$\frac{7π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]的图象（完成列表格并作图），由图象研究并写出g（x）的对称轴和对称中心．

Answer 1

分析 （1）根据正弦函数的图象与性质，求出f（x）的最小正周期与单调减区间；
（2）根据题意列出表格，根据表格画出函数在x∈[-$\frac{7π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]的图象，
结合图象得出此函数没有对称轴，有一个对称中心．

解答 解：（1）函数f（x）=2sin （2x+$\frac{π}{6}$），
∴f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π；
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，
则2kπ+$\frac{π}{3}$≤2x≤2kπ+$\frac{4π}{3}$，k∈Z，
kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，k∈Z；
∴函数f（x）的单调减区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]（k∈Z）；
（2）根据题意列出表格得：

x	-$\frac{7π}{12}$	-$\frac{π}{3}$	-$\frac{π}{12}$	$\frac{π}{6}$	$\frac{5π}{12}$
2x+$\frac{π}{6}$	-π	-$\frac{π}{2}$	0	$\frac{π}{2}$	π
y=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）	0	-2	0	2	0

根据表格画出函数g（x）=f（x），x∈[-$\frac{7π}{12}$，$\frac{5π}{12}$]的图象如图所示，

从图象上可以直观看出，此函数没有对称轴，有一个对称中心，对称中心是（-$\frac{π}{12}$，0）．

点评 本题考查了正弦函数的周期性和单调性以及五点法做正弦函数的图象问题，是基础题目．