Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．

Answer 1

考点：圆的切线的判定定理的证明,圆的切线的性质定理的证明

专题：计算题,证明题,直线与圆

分析：（1）根据∠ABC与∠D都是劣弧AC所对的圆周角，利用圆周角定理可证出∠ABC=∠D=60°； 
（2）根据AB是⊙O的直径，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，结合∠ABC=60°求得∠BAC=30°，从而推出∠BAE=90°，即OA⊥AE，可得AE是⊙O的切线；
（3）连结OC，证出△OBC是等边三角形，算出∠BOC=60°且⊙O的半径等于4，可得劣弧AC所对的圆心角∠AOC=120°，再由弧长公式加以计算，可得劣弧AC的长．

解答： 解：（1）∵∠ABC与∠D都是劣弧AC所对的圆周角，∠D=60°，
∴∠ABC=∠D=60°； 
（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．
可得∠BAC=90°-∠ABC=30°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，
即BA⊥AE，得OA⊥AE，
又∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；
（3）如图，连接OC，
∵∠ABC=60°，OB=OC，
∴△BOC是等边三角形，得∠BOC=60°，⊙O的半径R=OB=AB=4，
由此得到∠AOC=180°-∠BOC=120°，
因此，劣弧AC的长等于

120πR

180

=

120π•4

180

=

8π

3

．

点评：本题着重考查了切线的判定、圆周角定理以及弧长公式等知识，属于中档题．解题过程中，请注意注意辅助线的作法与数形结合思想的应用．