题目内容
如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a表示．（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a的值；
（Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；
（Ⅲ）当a=2时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率．
考点：古典概型及其概率计算公式,茎叶图,等可能事件的概率
专题：计算题,图表型,概率与统计
分析：（Ⅰ）直接由甲、乙两个小组的数学平均成绩相等列式求解a的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得的结果可得，当a=2，…，9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，然后由古典概率模型概率计算公式求概率；
（Ⅲ）用枚举法列出所有可能的成绩结果，查出两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的情况数，然后由古典概率模型概率计算公式求概率．
（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得的结果可得，当a=2，…，9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，然后由古典概率模型概率计算公式求概率；
（Ⅲ）用枚举法列出所有可能的成绩结果，查出两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的情况数，然后由古典概率模型概率计算公式求概率．
解答：
解：（Ⅰ）由甲、乙两个小组的数学平均成绩相等，得
(88+92+92)=
[90+91+(90+a)]，
解得a=1；
（Ⅱ）设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A，
a的取值有：0，1，2，…，9共有10种可能．
由（Ⅰ）可知，当a=1时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，
∴当a=2，…，9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．
∴乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率P（A）=
=
；
（Ⅲ）设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过（2分）”为事件B，
当a=2时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有3×3=9种，它们是：
（88，90），（88，91），（88，92），（92，90），（92，91），（92，92），（92，90），
（92，91），（92，92）．
∴事件B的结果有7种，它们是：（88，90），（92，90），（92，91），（92，92），（92，90），
（92，91），（92，92）．
∴两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过（2分）的概率P（B）=
．
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
解得a=1；
（Ⅱ）设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A，
a的取值有：0，1，2，…，9共有10种可能．
由（Ⅰ）可知，当a=1时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，
∴当a=2，…，9时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．
∴乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率P（A）=
| 8 |
| 10 |
| 4 |
| 5 |
（Ⅲ）设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过（2分）”为事件B，
当a=2时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有3×3=9种，它们是：
（88，90），（88，91），（88，92），（92，90），（92，91），（92，92），（92，90），
（92，91），（92，92）．
∴事件B的结果有7种，它们是：（88，90），（92，90），（92，91），（92，92），（92，90），
（92，91），（92，92）．
∴两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过（2分）的概率P（B）=
| 7 |
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点评：本题考查了茎叶图，考查了等可能事件的概率及古典概型概率计算公式，是基础的计算题．
练习册系列答案
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