Question

10．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x+1，x≤0}\\{lgx，x＞0}\end{array}\right.$，若函数y=|f（x）|-a有4个零点x₁，x₂，x₃，x₄，则x₁+x₂+x₃+x₄的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{81}{10}$]
• B． （0，$\frac{101}{10}$]
• C． （0，+∞）
• D． （2，$\frac{81}{10}$]

Answer 1

分析 作出函数y=|f（x）|的图象和直线y=a，由图象可得x₁+x₂=-2，-lgx₃=lgx₄，可得x₃x₄=1，且1＜x₄≤10，运用对勾函数的单调性，即可得到所求范围．

解答 解：若函数y=|f（x）|-a有4个零点x₁，x₂，x₃，x₄，
作出函数y=|f（x）|的图象和直线y=a，
由图象可得x₁+x₂=-2，-lgx₃=lgx₄，即为lgx₃+lgx₄=0，
可得x₃x₄=1，且0＜lgx₄≤1，即为1＜x₄≤10，
则x₃+x₄=$\frac{1}{{x}_{4}}$+x₄在（1，10]递增，
可得x₁+x₂+x₃+x₄=-2+$\frac{1}{{x}_{4}}$+x₄∈（-2+2，-2+10+$\frac{1}{10}$]，
即为（0，$\frac{81}{10}$]．
故选：A．

点评 本题考查函数的零点的范围，考查数形结合的思想方法，以及对勾函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．