Question

13．已知关于x的不等式ax²+ax+2＞0的解集为R，记实数a的所有数值构成的集合为M．
（1）求M；
（2）若t＞0，对?a∈M，有（a²-2a）t≤t²+3t-46，求t的最小值．

Answer 1

分析 （1）对a进行讨论求解不等式ax²+ax+2＞0的解集为R．可得a的范围，即集合M．
（2）分离参数，构造参数方程求解．

解答 解：（1）当a=0时，此时2＞0，满足题意；
当a≠0时，要使不等式ax²+ax+2＞0的解集为R．
需满足$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{{a}^{2}-8a＜0}\end{array}\right.$，解得：0＜a＜8．
综上可得：0≤a＜8．，
所以：集合M={a|0≤a＜8}．
（2）因为t＞0，由（a²-2a）t≤t²+3t-46，
得：a²-2a≤$\frac{{t}^{2}+3t-46}{t}$，
对于a∈M，可得：a²-2a∈[-1，48）．
所以：$\frac{{t}^{2}+3t-46}{t}$≥48，即：t²-45t-46≥0，
解得：t≥46或t≤-1，
∵t＞0
∴t≤-1（舍去）
所以t的最小值为46．

点评 本题考查了二次方程的系数讨论的解集问题．同时考查了分离参数，构造参数方程思想解决恒成立的问题．属于中档题．