Question

5．函数f（x）=$\sqrt{4-2x}$+$\sqrt{x}$的值域为[$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$]．

Answer 1

分析 利用导数求函数的值域．

解答 解：函数f（x）=$\sqrt{4-2x}$+$\sqrt{x}$，其函数的定义域为{x|0≤x≤2}．
那么：f′（x）=-$\frac{1}{\sqrt{4-2x}}+\frac{1}{2\sqrt{x}}$
令f′（x）=0，解得：x=$\frac{2}{3}$，
∴当x∈（0，$\frac{2}{3}$）时，f′（x）＞0，f（x）是单调增函数．
当x∈（$\frac{2}{3}$，2）时，f′（x）＜0，f（x）是单调减函数．
∴当x=$\frac{2}{3}$时，f（x）取得极大值，即最大值为$\sqrt{6}$．
当x=0时，f（x）=2，当x=2时，f（x）=$\sqrt{2}$．
所以得函数f（x）的值域为[$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$]．
故答案为：[$\sqrt{2}$，$\sqrt{6}$]．

点评 本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．