Question

1．已知四棱锥P-ABCD的三视图和直观图如图：

（1）求四棱锥P-ABCD的体积；
（2）若E是侧棱PC上的动点，是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由三视图可知，四棱锥中，PC⊥底面ABCD底面ABCD是边长为1的正方形，PC=2，由此能求出四棱锥P-ABCD的体积．
（2）连接AC，推导出BD⊥平面PAC，由此能求出当E在PC上运动时，BD⊥AE恒成立．

解答 解：（1）由三视图可知，四棱锥中，PC⊥底面ABCD，
底面ABCD是边长为1的正方形，PC=2，
∴四棱锥P-ABCD的体积V_P-ABCD=$\frac{1}{3}$•PC•S_底=$\frac{1}{3}$×2×1=$\frac{2}{3}$．
（2）不论点E在何位置，都有BD⊥AE成立．
证明如下：连接AC，∵BD⊥AC，BD⊥PC，且AC∩PC=C，
∴BD⊥平面PAC，
当E在PC上运动时，AE?面PAC，
∴BD⊥AE恒成立．

点评 本题考查几何体的体积的求法，考查线线垂直的判断与证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．