Question

6．已知向量$\overrightarrow m=（{sinA，cosA}），\overrightarrow n=（\sqrt{3}，1），\overrightarrow m•\overrightarrow n=\sqrt{3}$，且A是锐角．
（1）求角A的大小；
（2）求函数f（x）=cos2x+4sinAsinx（x∈R）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据数量积公式化简$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$，利用正弦函数的性质得出A的值；
（2）利用二倍角公式化简，根据二次函数的性质和sinx的范围求出最值．

解答 解：（1）由题已知：∵$m•n=\sqrt{3}sinA+cosA=\sqrt{3}$，
∴$2sin（A+\frac{π}{6}）=\sqrt{3}$，$sin（A+\frac{π}{6}）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
由A为锐角得：$A+\frac{π}{6}=\frac{π}{3}$，$A=\frac{π}{6}$．
（2）由（Ⅰ）知$sinA=\frac{1}{2}$，
∴f（x）=cos2x+2sinx=1-2sin²x+2sinx=$-2{（sinx-\frac{1}{2}）^2}+\frac{3}{2}$，
∵x∈R，∴sinx∈[-1，1]，
∴当sinx=$\frac{1}{2}$时，f（x）有最大值$\frac{3}{2}$，
当sinx=-1时，f（x）有最小值-3，
故所求函数f（x）的值域是$[-3，\;\frac{3}{2}]$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数的恒等变换，属于中档题．