Question

10．已知椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\;（a＞b＞0）$的离心率为$e=\frac{1}{2}$，左右焦点分别为F₁，F₂，以椭圆短轴为直径的圆与直线$x-y+\sqrt{6}=0$相切．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过点F₁、斜率为k₁的直线l₁与椭圆E交于A，B两点，过点F₂、斜率为k₂的直线l₂与椭圆E交于C，D两点，且直线l₁，l₂相交于点P，若直线OA，OB，OC，OD的斜率k_OA，k_OB，k_OC，k_OD满足k_OA+k_OB=k_OC+k_OD，求证：动点P在定椭圆上，并求出此椭圆方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用点到直线的距离公式，即可求得b，利用椭圆的离心率及a²=c²+b²，即可求得a的值，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）当直线l₁或l₂斜率不存在时，求得P点坐标，当直线l₁、l₂斜率存在时，可得l₁的方程为y=k₁（x+1），l₂的方程为y=k₂（x-1）．与椭圆方程联立即可得出根与系数的关系，再利用斜率计算公式和已知即可得出k₁与k₂的关系，利用直线的斜率，即可求得椭圆方程．

解答 解：（Ⅰ）由以椭圆短轴为直径的圆与直线$x-y+\sqrt{6}=0$相切，则圆心O到直线的距离d=b，
∴b=d=$\frac{丨0-0+\sqrt{6}丨}{\sqrt{1+1}}$=$\sqrt{3}$
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，则a=2c，
a²=c²+b²=c²+3，解得：a=2，c=1，
∴椭圆E的方程$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；…（4分）
（Ⅱ）当直线l₁或l₂斜率不存在时，P点坐标为（-1，0）或（1，0）．
当直线l₁、l₂斜率存在时，l₁的方程为y=k₁（x+1），l₂的方程为y=k₂（x-1），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
联立$\left\{\begin{array}{l}{y={k}_{1}（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得到（3+4k₁²）x²+8k₁²x+4k₁²-12=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{8{k}_{1}^{2}}{3+4{k}_{1}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}_{1}^{2}-12}{3+4{k}_{1}^{2}}$．
同理x₃+x₄=$\frac{8{k}_{2}^{2}}{3+4{k}_{2}^{2}}$，x₃x₄=$\frac{4{k}_{2}^{2}-12}{3+4{k}_{2}^{2}}$．（*）
∵k_OA=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$，k_OB=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$，k_OA+k_OB=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=$\frac{2{k}_{1}{x}_{1}{x}_{2}+{k}_{1}（{x}_{1}+{x}_{2}）}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{12{k}_{1}}{4{k}_{1}^{2}-12}$，
同理可得：k_OC+k_OD=$\frac{-12{k}_{2}}{4{k}_{2}^{2}-12}$．
由k_OA+k_OB=k_OC+k_OD，则$\frac{12{k}_{1}}{4{k}_{1}^{2}-12}$=$\frac{-12{k}_{2}}{4{k}_{2}^{2}-12}$．
整理得：k₁k₂=-3．
设点P（x，y），则$\frac{y}{x+1}$•$\frac{y}{x-1}$=-3，（x≠±1）
整理得：$\frac{{y}^{2}}{3}+{x}^{2}=1$，（x≠±1）
由当直线l₁或l₂斜率不存在时，P点坐标为（-1，0）或（1，0）也满足，
∴椭圆的标准方程：$\frac{y^2}{3}+{x^2}=1$．…（12分）

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式，考查计算能力，属于中档题．